Métodos
Matemáticos de la Física 2
Semestre B
2006
L. A. Núñez
Centro
de Física
Fundamental,
Departamento de
Física,
Facultad de Ciencias,
Universidad de
Los Andes,
Mérida 5101, Venezuela y
Centro Nacional de Cálculo
Científico,
Universidad de Los Andes,
(CeCalCULA)
Corporación Parque Tecnológico de Mérida,
Mérida 5101, Venezuela
Versión β
Semana 1,2, 3 Series
Infinitas
(Actualizado 14
Octubre 816k pdf) Definición,
convergencia y pruebas de convergencia;
Algebra de serie; Series de funciones: Series de Potencias y Series de
Taylor;
Series Ortogonales de Polinomios: Polinomios de Legendre y Hermite.
Definición,
Relaciones de Recurrencia y Funciones Generadoras. Aplicaciones.
Planteamiento
General para Series de Polinomios Ortogonales, Polinomios Ortogonales y
MAPLEV Series de Fourier:
definición,
usos y aplicaciones. Suma de Serie de Fourier; El Fenómeno de Gibbs.
Bases contínuas para un Espacio Vectorial
Transformada de Fourier discreta. Series de
Fourier y MAPLEV
Tarea 1 (20
septiembre) Tarea 2 (6 Octubre) Tarea 3 (23 Octubre)
Examen
Parcial Series y Polinomios Ortogonales (25 Octubre)
Semanas 4 y 5
Variable Compleja (Incompleto,
actualizado el 3 de Noviembre 1400K
pdf) Funciones
de Variable
Compleja, Condiciones de Cauchy Riemann, Teorema
y Fórmula Integral de Cauchy Riemman; Expansiones en series de Laurent;
Aplicaciones Conformes; Singularidades y Polos, Cálculos de Residuos.
Tarea 4 (13
Noviembre) Tarea 5 (18 Noviembre)
Examen
Parcial Variable Compleja (jueves
16 Noviembre)
Semana 6 Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias (Incompleto
actualizado 14 junio 49 pg 800k pdf): Lenguaje
y Conceptos Básicos
Motivación y Origen de la Ecuaciones Diferenciales; Variables,
Funciones, Intervalos, Ecuaciones Algebraicas y Diferenciales;
Ordinarias y
Parciales; Lineales y No Lineales; Orden de una Ecuación Diferencial.
Ecuaciones Diferenciales homogéneas e Inhomogéneas. Ecuaciones
Diferenciales
Lineales de Primer Orden: Familia de Soluciones, Solución General y
Solución
Particular. Ecuaciones Diferenciales No Lineales
Semana 7 Tipos
de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Ecuaciones
Diferenciales Separables; Exactas; Factores Integrantes; Funciones y
Ecuaciones
Diferenciales homogéneas; Ecuación de Bernoulli; Ecuación de
Ricatti;
Ecuación de Lagrange; Problemas Variados.
Semana 8
Métodos
Numéricos Soluciones
Exactas y Aproximadas; Fuentes de errores. Sumas de Riemman; Método
Trapezoidal
y de Simpson; Métodos de paso simple: Series de Taylor y los Métodos de
Euler
de Primero y Segundo Orden;Métodos de Runge Kutta; Métodos de Paso
Múltiple:
Adams-Basgforth, Milne, Adams-Moulton y Milne-Simpson. Métodos
Predictor-Corrector.
Tarea 6
(8 Diciembre)
Proyecto
de Métodos Numéricos B2006
Semana 9
Aplicaciones de las
Ecuaciones Diferenciales de
Primer Orden Ley de
Malthus/Decaimiento
Radioactivo; La Ecuación logística o Ley de Verhulst; La Ley de
Enfriamiento de
Newton; Interés Compuesto. Mecánica Elemental; Movimientos con
Acelaración
Constante; Fricción en Fluidos ; Fuerzas Elásticas; Sistemas de Masa
Variable:
Un Cohete en Movimiento; Modelado de Concentración/Desleimiento de
Soluciones.
Examen Parcial Ecuaciones
Diferenciales de Primer
Orden (13 de Diciembre)
Semana 10
Ecuaciones
Diferenciales de Orden Superior. (Actualizado a Julio 2006, pdf
36 pg
824 KB) Generalidades;
Ecuaciones homogéneas;
Independencia Lineal; Reducción de Orden. Ecuaciones homogéneas con
Coeficientes Constantes; Raíces Complejas; Ecuaciones Inhomogéneas;
Método de
los Coeficientes Indeterminados; Método de Variación de los Parámetros.
El
Oscilador Armónico amortiguado y forzado.
Semana 11
Sistemas
de Ecuaciones Diferenciales
Sistemas Homogéneos con
Coeficientes
Constantes; Sistemas Inhomogéneos
Transformadas Integrales, Método de
Transformada de
Laplace. Cálculo
operacional; Transformadas Integrales; Transformada de Laplace:
Propiedades y
usos: Teorema de Convolución
Tarea 7 (12 de Enero 2007)
Examen
Parcial Ecuaciones de Orden Superior (13 de
Enero 2007)
Semanas 12 y 13
•
Métodos de Solución por Series Puntos Ordinarios y
Singularidades en Ecuaciones
Diferenciales. Soluciones en puntos Ordinarios. El Método de Frobenius
y las
soluciones cercanas a puntos singulares. Un Ejemplo: La Ecuación
Bessel;
Funciones de Bessel de primer tipo ; Propiedades.
•
Funciones Especiales Funciones
Cilíndricas; Funciones de Bessel de primera y segunda especie;
Funciones de
Neumann y Hankel; Funciones de Bessel Modificadas; Expansiones
Asintóticas; Funciones
Esféricas; Funciones de
Legendre de Primera Especie
y los Armónicos Esféricos; Función Gamma; Fórmula de
Stirling;
Función Beta; Funciones Gamma incompletas y Funciones Relacionadas;
Funciones
Integrales Probabilistas; Funciones Integrales Exponenciales.
Examen
Parcial Método de Solución por Series y Funciones Especiales
Semanas 14 y 15
•
Ecuaciones de la Física Matemática y Problemas de Contorno. Ecuaciones de La Física
Matemática y el Método
de Separación de Variables; Coordenadas y Ecuaciones Diferenciales
Parciales:
Rectangulares, Cilíndricas y Esféricas; Autovalores y Autovectores;
Operadores
Diferenciales Autoadjunto y Problema de Sturm Liouville con Valores de
Contorno; Casos Homogéneos e Inhomogéneos. Funciones de Green.
•
Estabilidad y Ecuaciones Diferenciales No Lineales. (tentativo) Sistemas
Autónomos;
Espacios y Planos de Fase; Estabilidad y Criterios de Liapunov.
Aplicaciones y
Ejemplos.
Examen
Parcial
2 Plan de Evaluación
Cinco (5) exámenes parciales (15% c/u) y diez tareas evaluadas (20%) Un
trabajo
de Métodos Numéricos (5%)
Bibliografía
[1] M. L. Abell y J. P Braselton
Differential
Equations with MAPLE V Academic Press, New York 1994.
[2] F. Ayres. Differential
Equations. Shaum’s
Series McGraw-Hill, New York
1952 (Existe Traducción).
[3] Apostol, T. M. (1972) Calculus
Vol 2
(Reverté Madrid) QA300 A66C3 1972
[4] Arfken, G. B.,Weber, H.,
Weber, H.J.
(2000) Mathematical Methods for Physicists 5ta Edición (Academic Press,
Nueva
York)
[5] W. E. Boyce y R.C. DiPrima.
Elementary
Differential Equations and Boundary Problems. (3rd Edition) John Wiley,
New
York, 1977. (Existe Traducción)
[6] Cohen-Tannoudji, C., Diu B. y
Laloë
(1977) Quantum Mechanics Vol 1 (John Wiley Interscience, Nueva York)
[7] L. Elsgoltz Ecuaciones
Diferenciales y
Cálculo Variacional. Mir, Moscú, 1969.
[8] Harper, C. (1971) Introduction
to
Mathematical Physics (Prentice Hall, Englewood Cliff, N.J:)
[9] A. Kiseliov, M. Krasnov y G.
Makarenko.
Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Mir, Moscú, 1969.
[10] N. N. Lebevedev Special
Functions and
Their Applications. Dover, New York 1972.
[11] M. Tenenbaun y H. Pollard. Ordinary Differential
Equations
Harper and Row, New York 1963.
[12] Riley, K.F., Hobson, M.P. y
Bence, S.J.
(2002) Mathematical Methods for Physics and Engineering (Cambridge University
Press)
[13] Spiegel, M. (1967) Variable
Compleja
(Schaum‘s Outline Series, McGraw Hill New York)
Algunos enlaces de Interés