Métodos
Matemáticos de la Física 2
Semestre A
2006
L. A. Núñez
Centro
de Física
Fundamental,
Departamento de
Física,
Facultad de Ciencias,
Universidad de
Los Andes,
Mérida 5101, Venezuela y
Centro Nacional de Cálculo
Científico,
Universidad de Los Andes,
(CeCalCULA)
Corporación Parque Tecnológico de Mérida,
Mérida 5101, Venezuela
Versión β
Cronograma y Plan Detallado del Curso A2006
Semana 1
La
Deuda Social: Determinantes,
Autovalores y Autovectores (pdf 310k) Un Paréntesis Determinante:
dfinición Propiedades Determinantes; Autovectores y Autovalores;
Denfiiciones y
Teoremas Preliminares; Algunos Ejemplos; Autovalores, autovectores e
independencia lineal; Autovalores y Autovectores de un operador; El
polinomio
característico; Autovalores y Autovectores de Matrices Importantes:
Matrices
Similares, Matrices Hermíticas y Matrices Unitarias; Conjunto Completo
de
Observables que conmutan.
Tarea 1 , Tarea 2 Examen
Parcial Determinantes, Autovalores y
Autovectores
Semana 2 Series
Infinitas
(Incompleto actualizado 20 mayo
710k pdf) Definición,
convergencia y pruebas de convergencia;
Algebra de serie; Series de funciones: Series de Potencias y Series de
Taylor;
Series Ortogonales de Polinomios: Polinomios de Legendre y Hermite.
Definición,
Relaciones de Recurrencia y Funciones Generadoras. Aplicaciones.
Planteamiento
General para Series de Polinomios Ortogonales, Series de Fourier:
definición,
usos y aplicaciones. Suma de Serie de Fourier; El Fenómeno de Gibbs.
Transformada de Fourier discreta y Transformada rápida de
Fourier.
Tarea 3 Tarea 4
Tarea 5
Examen
Parcial Series y Polinomios Ortogonales
Semanas 3 y 4 Variable Compleja Funciones de Variable
Compleja, Condiciones de Cauchy Riemann, Teorema
y Fórmula Integral de Cauchy Riemman; Expansiones en series de Laurent;
Aplicaciones Conformes; Singularidades y Polos, Cálculos de Residuos;
Semana 5 Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias (Incompleto
actualizado 14 junio 49 pg 800k pdf): Lenguaje
y Conceptos Básicos
Motivación y Origen de la Ecuaciones Diferenciales; Variables,
Funciones, Intervalos, Ecuaciones Algebraicas y Diferenciales;
Ordinarias y
Parciales; Lineales y No Lineales; Orden de una Ecuación Diferencial.
Ecuaciones Diferenciales homogéneas e Inhomogéneas. Ecuaciones
Diferenciales
Lineales de Primer Orden: Familia de Soluciones, Solución General y
Solución
Particular. Ecuaciones Diferenciales No Lineales
Semana 6 Tipos
de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias de Primer Orden Ecuaciones
Diferenciales Separables; Exactas; Factores Integrantes; Funciones y
Ecuaciones
Diferenciales homogéneas; Ecuación de Bernoulli; Ecuación de
Ricatti;
Ecuación de Lagrange; Problemas Variados.
Semana 7 y 8
Métodos
Numéricos Soluciones
Exactas y Aproximadas; Fuentes de errores. Sumas de Riemman; Método
Trapezoidal
y de Simpson; Métodos de paso simple: Series de Taylor y los Métodos de
Euler
de Primero y Segundo Orden;Métodos de Runge Kutta; Métodos de Paso
Múltiple:
Adams-Basgforth, Milne, Adams-Moulton y Milne-Simpson. Métodos
Predictor-Corrector.
Proyecto
de Métodos Numéricos
Aplicaciones de las
Ecuaciones Diferenciales de
Primer Orden Ley de
Malthus/Decaimiento
Radioactivo; La Ecuación logística o Ley de Verhulst; La Ley de
Enfriamiento de
Newton; Interés Compuesto. Mecánica Elemental; Movimientos con
Acelaración
Constante; Fricción en Fluidos ; Fuerzas Elásticas; Sistemas de Masa
Variable:
Un Cohete en Movimiento; Modelado de Concentración/Desleimiento de
Soluciones.
Examen Parcial Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Semana 9 Ecuaciones
Diferenciales de Orden Superior. (Actualizado a Julio 2006, pdf
36 pg
824 KB) Generalidades;
Ecuaciones homogéneas;
Independencia Lineal; Reducción de Orden. Ecuaciones homogéneas con
Coeficientes Constantes; Raíces Complejas; Ecuaciones Inhomogéneas;
Método de
los Coeficientes Indeterminados; Método de Variación de los Parámetros.
El
Oscilador Armónico amortiguado y forzado.
Semana 10
Sistemas
de Ecuaciones Diferenciales
Sistemas Homogéneos con
Coeficientes
Constantes; Sistemas Inhomogéneos
Transformadas Integrales, Método de
Transformada de
Laplace. Cálculo
operacional; Transformadas Integrales; Transformada de Laplace:
Propiedades y
usos: Teorema de Convolución
Examen
Parcial Sábado
10 de Junio 11am
Semanas 11 y 12
•
Métodos de Solución por Series Puntos Ordinarios y
Singularidades en Ecuaciones
Diferenciales. Soluciones en puntos Ordinarios. El Método de Frobenius
y las
soluciones cercanas a puntos singulares. Un Ejemplo: La Ecuación
Bessel;
Funciones de Bessel de primer tipo ; Propiedades.
•
Funciones Especiales Funciones
Cilíndricas; Funciones de Bessel de primera y segunda especie;
Funciones de
Neumann y Hankel; Funciones de Bessel Modificadas; Expansiones
Asintóticas; Funciones
Esféricas; Funciones de
Legendre de Primera Especie
y los Armónicos Esféricos; Función Gamma; Fórmula de
Stirling;
Función Beta; Funciones Gamma incompletas y Funciones Relacionadas;
Funciones
Integrales Probabilistas; Funciones Integrales Exponenciales.
Semanas 13 y 14
•
Ecuaciones de la Física Matemática y Problemas de Contorno. Ecuaciones de La Física
Matemática y el Método
de Separación de Variables; Coordenadas y Ecuaciones Diferenciales
Parciales:
Rectangulares, Cilíndricas y Esféricas; Autovalores y Autovectores;
Operadores
Diferenciales Autoadjunto y Problema de Sturm Liouville con Valores de
Contorno; Casos Homogéneos e Inhomogéneos. Funciones de Green.
•
Estabilidad y Ecuaciones Diferenciales No Lineales. (tentativo) Sistemas
Autónomos;
Espacios y Planos de Fase; Estabilidad y Criterios de Liapunov.
Aplicaciones y
Ejemplos.
Examen
Parcial Sábado
1 de Julio 11am
2 Plan de Evaluación
Cinco (5) exámenes parciales (15% c/u) y diez tareas evaluadas (20%) Un
trabajo
de Métodos Numéricos (5%)
Bibliografía
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Algunos enlaces de Interés